Exponential and logarithmic mapping

• In mathematics, a manifold is a topological space that locally resembles Euclidean space near each point.
  • a topological space may be defined as a set of points, along with a set of neighbourhoods for each point, satisfying a set of axioms relating points and neighbourhoods.
• The Earth on which we live is round like (Spherical) [Lie Group]
• 내가 현재 발을 딛고 땅(locally) 에서는 평면(Plane) 처럼 보인다 [Lie Algebra]
• 즉 Lie Algebra와 Lie Group은 로봇이 현재 보고 있는 Frame의 Feature pointer들을 Map으로 Represented 하기를 도와주는 것이다.

Special Orthogonal(SO)

• small letter so is Lie Algebra
• Capital Letter SO is Lie Group

• A is Square Matrix

• a^a = 0 의 의미는 동일한 외점들을 취하면 0이 된다.

Special Euclidean(SE)

• (pie^)는 Sketric matrix

• block matrix

summary

• so<->SO 관계는 리대수-> 리선형으로 하여 Rotation 값을 구할 수 있으며(반대로 리대수의 행렬값을 얻을 수 있음)
• se<->SE 관계는 리대수->리선형으로 통하여 translation과 Rotation을 구할 수 있고(반대로 리대수 se 행렬값을 얻을 수 있다.)

  Reference

  SLAM KR